Simulación numérica de propagación de ondas en reservorios de hidrocarburos fracturados utilizando el método de elementos finitos
Resumen Abstract Índice Conclusiones
Martinez, Robiel
2018-A
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Debido a la importancia del estudio de los yacimientos naturalmente fracturados en la exploración, caracterización y desarrollo de reservorios,
esta tesis se enfoca en el contexto de la física numérica de rocas y el modelado de la propagación de ondas en los medios porosos fracturados.
Se parte de los conceptos básicos sobre medios porosos y ecuaciones de Biot en el dominio del tiempo y la frecuencia. Se combina esta teoría con distintas caracterizaciones para las fracturas y se desarrolla un algoritmo de propagación de ondas en este tipo de medios mediante la técnica de elementos finitos, usando una malla estructurada y condiciones de borde absorbentes. Esto se hace utilizando elementos rectangulares no conformes, reduciendo así la dispersión numérica.
El modelado de los medios porosos fracturados empieza considerando la fractura como una delgada capa porosa, poco resistente y permeable. Los coeficientes de reflexión y transmisión para la misma son calculados para diferentes ángulos de incidencia y rango de frecuencias variando las propiedades del medio y el espesor de la capa. Estos coeficientes son útiles en técnicas como AVO (Amplitud Vs. Offset) donde se tienen en cuenta cambios de fase y de amplitud de la onda al entrar en contacto con diferentes interfaces sísmicas y fluidos porales.
Siguiendo con el modelado de medios fracturados se dise\~na un conjunto de experimentos armónicos de compresión y corte, aplicados a muestras
representativas de las formaciones rocosas del subsuelo que contienen un conjunto denso de fracturas de escala mesoscópica orientadas en direcciones preferenciales. Se desarrolla un algoritmo de elementos finitos para calcular los coeficientes de rigidez, la presión de fluido y los efectos de atenuación de estos materiales en función de la frecuencia de análisis, variando las propiedades de las rocas sólidas y los fluidos que las saturan. Mediante «upscaling» numérico se realiza la determinación de los coeficientes de las relaciones constitutivas del medio viscoelástico anisótropo equivalente a escala macroscópica.
Usando un nuevo modelo para las fracturas, donde éstas se asumen como una condición de borde entre dos medios porosos, se calculan nuevamente los coeficientes de reflexión y transmisión para una onda que incide en la fractura, variando las propiedades de sólidos y fluidos, tanto de la fractura como de su entorno. Usando el método de los elementos finitos se implementa un código para el cálculo de los coeficientes de rigidez, presión de fluido y atenuación, usando experimentos armónicos al igual que con el modelo de capa fina.
Por último se utiliza un algoritmo para la propagación de ondas en medios viscoelásticos con elementos finitos, modelando así la respuesta sísmica de las ondas en la macro escala, a partir de los coeficientes de rigidez calculados con los modelos de medios fracturados.
Due to the importance of the study of naturally fractured deposits in the exploration, characterization and development of reservoirs, this Thesis focuses on the context of the numerical rock physics and modeling of wave propagation in fractured fluid-saturated porous media.
The Thesis starts with a revision of the basic concepts on fluid-saturated poroelastic media and Biot’s theory of wave propagation in the space-time and space-frequency domains.
Biot’s theory is used with different characterizations of fractures and a wave propagation algorithm is developed in this type of medium using the finite element method, an structured mesh and absorbing boundary conditions at the artifical boundaries of the computational domain. A non-conforming finite element space to represent the solid displacement is used to reduce numerical dispersion.
Modeling fractured fluid-saturated poroelastic media begins considering the fracture as a very thin, compliant and highly permeable porous layer.
The reflection and transmission coefficients at a fracture are calculated for different incidence angles and frequency ranges, varying the properties of the medium and the thickness of the layer.
These reflection and transmission coefficients are useful in techniques such as AVO (Amplitude Vs. Offset), where changes in phase and amplitude of the waves are taken into account when coming into contact with different seismic interfaces and pore fluids.
Continuing with the modeling of fractured media at the macroscale, since reservoir rock formations containing a dense set of mesoscopic-scale aligned fractures behave as transversely isotropic and viscoelastic at long wavelengths, a set of time-harmonic compressibility and shear experiments is applied to representative samples of the material.
These experiments are associated with boundary value problem for determining the complex and frequency dependent stiffness coefficients of a long-wave equivalent anisotropic viscoelastic medium, which are solved using the finite element. This technique is a numerical upscaling procedure allowing
to include the important effects of attenuation and dispersion observed at seismic waves at the field scale due to wave induced fluid flow.
The finite element codes to determine the stiffness coefficients are validated against analytical models and then computed for different properties of the solid frame and the saturating fluids.
Using a different representation of fractures, modeled as boundary condition between two fluid-saturated poroelastic half-spaces, the reflection and transmission coefficients are calculated for waves incident at the fracture, varying the fluid and solid properties of both fractures and background.
Next, the same compressibility and shear time-harmonic experiments are applied to representative samples of a densely fractured poroelastic
material, with fractures modeled as bounday conditions, and a comparison between the stiffness obtained with both fracture models is performed.
Finally, using the stiffness coefficients determined with the numerical upscaling methodology, a finite element algorithm is used to model the seismic response of fractured fluid-saturated poroelastic media at the macroscale.
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Medios Porosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1. Ecuaciones Constitutivas de los Medios Porosos . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Ecuaciones de Movimiento de los Medios Porosos . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Efectos de Atenuación y Dispersión en Medios Porosos Saturados . . . . . . 13
2.3.1. Ejemplo Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Propagación de Ondas en Medios Porosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1. Forma Débil del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Algoritmo Usando Elementos No Conformes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3. Ejemplos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1. Propagación de Ondas en un Medio Isótropo. . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2. Propagación de Ondas en un Medio de Dos Capas Isótropas. . . . . . . . . 34
4. Coeficientes de Reflexión y Transmisión para Una Capa Fina . . . . . . . . . 40
4.1. Desplazamiento del Sólido y Relativo al Fluido . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2. Condiciones de Borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3. Coeficientes de Reflexión y Transmisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4. Ejemplos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4.1. Caso 1. Ondas P en Medios Fluidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4.2. Caso 2. Ondas P y S en Medios Sólidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.3. Caso 3. Los Tres Medios con la Misma Matriz Rocosa Pero
Saturados con Tres Fluidos Diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4.4. Caso 4. Tres Medios Saturados con el Mismo Fluido. . . . . . . . . . . . 57
5. Coeficientes R-T para Una Fractura como Condición de Borde . . . . . . . . . 61
5.1. Condiciones de Borde a Través de Una Fractura. . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2. Coeficientes de Reflexión y Transmisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3. Ejemplos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.1. Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.2. Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.3. Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6. Sistemas de Fracturas Modeladas como Capas Finas en Medios de
Biot y Anisotropı́a Inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.1. Medio Equivalente VTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2. Determinación de los Coeficientes pIJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.1. Cálculo de p33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2.2. Cálculo de p11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2.3. Cálculo de p55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2.4. Cálculo de p66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2.5. Cálculo de p13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3. Formulación Variacional del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4. Algoritmo de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.5. Ejemplos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.5.1. Modelo Teórico Vs. Modelo Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.5.2. Cambio en la Frecuencia de Análisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.5.3. Presión de Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.5.4. Aproximación para los Factores de Disipación de las Ondas qP . . . . . . 112
6.5.5. Cambio del Porcentaje de Saturación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5.6. Factor de Disipación y Velocidades en Función de la Frecuencia . . . . . 114
6.5.7. Caso Homogéneo Vs. Caso Fractal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7. Sistemas de Fracturas Modeladas como Condiciones de Borde en
Medios de Biot y Anisotropı́a Inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.1. Condiciones de Borde de Una Fractura en Un Medio de Biot . . . . . . . . . 118
7.2. Formulación Variacional del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.3. Algoritmo de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4. Ejemplos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.4.1. Background y Fracturas Homogéneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.4.2. Background y Fracturas con Patches de Fluido . . . . . . . . . . . . . . 133
7.4.3. Medios Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.4.4. Variación del Espesor de la Fractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.4.5. Variación de la Presión Poral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8. Propagación de Ondas en Medios Poroelásticos Fracturados Utilizando Medios .
Viscoelásticos Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.1. Forma Débil del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.2. Algoritmo Usando Elementos No Conformes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.3. Ejemplos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.3.1. Variación de la Densidad de Fracturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.3.2. Variación del Fluido Saturante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.3.3. Background y Fracturas con Patches de Agua Salada y Gas. . . . . . . . . 155
8.3.4. Parámetros Anisótropos de Thomsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A. Teorı́a de la Atenuación del Flujo Mesoscópico para Medios Poro-Elásticos
Anisótropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
B. Velocidades y Factores de Calidad del Medio Equivalente VTI. . . . . . . . . 173
Bibliografı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
La tesis comenzó con una revisión de la teoría de Biot de propagación de ondas en medios poroelásticos saturados (medios de Biot). Se analizó el comportamiento de los tres tipos de onda cuando un medio poroelástico se satura con diferentes fluidos. Se observó que la onda de tipo P_II pasa de ser difusiva en bajas frecuencias a onda de propagación en altas frecuencias. Las ondas P_I y S presentan comportamiento similar en todo el rango de frecuencias.
Luego se pasó a modelar la propagación de ondas en medios de Biot usando elementos finitos no conformes, lo que requiere 12 nodos por elemento. Los resultados mostraron que al saturar una roca con dos fluidos diferentes se observa la aparición de ondas convertidas y lo mismo ocurre en el caso de dos tipos de roca saturada por el mismo fluido. También se observó como al saturar una misma roca con agua y petróleo, la velocidad varía dependiendo de las propiedades del fluido, aunque la matriz rocosa sea la misma.
Se resolvió el problema de dispersión para ondas que inciden en un sistema poroso saturado por un fluido, compuesto por una capa plana que separa dos semiespacios, donde los medios se describen por la teoría de poroelasticidad de Biot. Los resultados se validaron con casos límites conocidos, como porosidad cero (sólidos elásticos) y 100% de porosidad (fluidos no viscosos), y el caso de una única interfaz entre dos semiespacios poroelásticos cuando el espesor de la capa tiende a cero.
Las ecuaciones predicen todas las ondas convertidas, los ángulos críticos y los cambios de polaridad, dependiendo del tipo de onda incidente. Se estudiaron casos específicos, como una capa porosa altamente permeable. Las ecuaciones planteadas se pueden utilizar para estudiar muchos casos prácticos, como por ejemplo, la respuesta sísmica de fracturas en reservorios de areniscas y de carbonatos y los efectos AVO de una fractura (capa porosa delgada y permeable) en función del tipo de fluido y las características de la matriz rocosa, como la porosidad y la permeabilidad.
Para el cálculo de los coeficientes de reflexión y transmisión modelando la fractura como una condición de borde, en todos los casos analizados (coeficientes R-T), a frecuencias sísmicas, se observaron buenos ajustes con los coeficientes R-T obtenidos modelando la fractura como una capa delgada. En los ejemplos que se analizaron, las diferencias entre la respuesta acústica de la fractura debido a los fluidos que la saturan, se podría usar para inferir que tipo de fluido satura las fracturas de una roca, pero esto necesita un estudio más profundo.
Pasando al modelado de medios de Biot que contienen conjuntos de fracturas orientadas en direcciones preferenciales, se presentó un conjunto de experimentos armónicos cuasiestáticos para determinar los coeficientes complejos de rigidez y dependientes de la frecuencia para un medio viscoelástico transversalmente isótropo (VTI) equivalente a un medio poroelástico saturado de fluido que contiene un conjunto denso de fracturas. El simulador numérico desarrollado, se basa en la solución por el método de los elementos finitos de las ecuaciones de Biot en el rango difusivo con condiciones de borde que representan pruebas de compresibilidad y cizallamiento. Las fracturas se modelan como capas poroelásticas delgadas y permeables.
A diferencia de los modelos desarrollados hasta el presente donde el background y las fracturas son homogéneos e isótropos, el algoritmo que se desarrolló permite la inclusión heterogeneidades en las capas poroelásticas analizadas, background y fracturas. En los ejemplos desarrollados
se observó direcciones preferenciales para la atenuación y para la velocidad dependiendo del tipo de onda analizada, lo que demuestra los efectos de la anisotropía en el medio viscoelástico equivalente.
Siguiendo con esta temática, se modeló la fractura como una condición de borde usando el método de los elementos finitos y los mismos tests armónicos desarrollados con el anterior algoritmo. Así se obtienen los coeficientes complejos de la matriz de rigidez del medio viscoelástico equivalente VTI, reduciendo el número de incógnitas debido a que la fractura se modela como discontinuidades en las presiones del fluido y en los desplazamientos, manteniendo continuas las componentes de las tensiones totales. El algoritmo fue validado con modelos preexistentes y con el modelo de capa fina. En cuanto a los ejemplos desarrollados se analizaron los efectos de la anisotropía en la atenuación y en la velocidad de la energía para diferentes casos donde los medios son homogéneos o contienen heterogeneidades. También se observó como al aumentar el espesor de las fracturas, los efectos de la anisotropía sobre las velocidades aumentan de forma considerable. Por último, también se destaca el efecto de la presión poral, que al aumentar, incrementa los efectos de anisotropía de las diferentes ondas.
Finalmente, se realizó el modelado de propagación de ondas en medios viscoelásticos a partir de los coeficientes de rigidez calculados con los algoritmos de modelado de medios de Biot con conjuntos densos de fracturas. Para este modelado se usaron elementos no conformes y 8 nodos por elemento, lo que reduce el número de incógnitas, en comparación del modelado de medios poroelásticos. Otra ventaja del modelado de medios equivalentes, es que no se necesita hacer un mallado tan fino para modelar fracturas delgadas orden de centímetros o milímetros, basta con obtener los coeficientes de rigidez del medio viscoelástico equivalente VTI.
En los ejemplos vistos se observaron los efectos de la densidad de fracturamiento, donde al aumentar el número de fracturas por metro, el efecto de la anisotropía se hace más fuerte y la triplicación del frente de onda para la onda qSV se hace más evidente. También se analizó el efecto del fluido saturante y como el caso de saturación en forma de patches de gas y agua afecta la velocidad de las ondas. Se mostró la importancia de tener en cuenta la anisotropía en el procesamiento de datos sísmicos de reflexión y la posibilidad de conocer los parámetros de anisotropía a partir del cálculo de los coeficientes de rigidez obtenidos en el modelado.