Aportaciones en el estudio de modelos estocásticos de crecimiento para el estudio de la producción de petróleo. Proceso de difusión Gubert
Resumen Abstract Índice Conclusiones
Da Luz, Istoni
2018-A
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RESUMEN DE LA TESIS
APORTACIONES EN EL ESTUDIO DE MODELOS ESTOCÁSTICOS DE CRECIMIENTO PARA EL ESTUDIO DE LA PRODUCCIÓN DE PETRÓLEO. PROCESO DE DIFUSION HUBBERT.
Istoni Da Luz Sant’Ana
La producción de petróleo a menudo requiere un modelo matemático que represente apropiadamente la dinámica del fenómeno en estudio. Para ello,
muchos autores eligen modelos econométricos/estocásticos que consideran variables exógenas asociadas con factores tecnológicos y/o económicos, o incluso modelos determinísticos
simplistas relacionados con la curva de Hubbert. Los procesos estocásticos de difusión permiten proporcionar mecanismos que consiguen un balance conveniente entre ambas
opciones. El proceso presentado se relaciona con la curva de Hubbert de manera estocástica, pero matemáticamente más sofisticado.
Los capítulos 2 y 3 de la presente tesis
motivan el estudio de la curva de Hubbert a través de la formulación de un nuevo proceso de difusión válido para la modelización de la producción de petróleo. Planteado
el modelo de difusión como la solución de una ecuación diferencial estocástica, el siguiente objetivo es estimar estadísticamente sus parámetros basados en observaciones
del proceso en tiempo discreto. El capítulo 3 profundiza en la metodología clásica derivada de la estimación máximo verosímil. La aplicación de tales técnicas puede ser
problemática, si no imposible, en algunas situaciones típicas de datos en la producción de petróleo, en particular, cuando no hay visualizaciones del tiempo de pico y/o
in exió. Se proponen alternativas apropiadas para abordar estos problemas mediante enfoques que consideran las características del proceso y de los datos observados de
producción. Estos procedimientos se centran en la búsqueda de soluciones iniciales para el sistema de ecuaciones derivado de la aplicación de la teoría de máxima verosimilitud.
No obstante, y motivado por el hecho de que en ocasiones los métodos clásicos de resolución de sistemas no lineales pueden no funcionar adecuadamente, se plantea la estimación
de los parámetros mediante la maximizacion directa de la función de verosimilitud vía algoritmos metaheurísticos como simulated annealing y variable neighborhood search. Todos
estos métodos y procedimientos han sido testeados mediante diversos estudios de simulacion (capítulo 5).
Uno de los pilares básicos de la teoría del pico de Hubbert, una de las piedras angulares del estudio de la producción de petróleo, es la determinación del instante en el que
la producción alcanza el pico. Una de las formas de estimarlo es mediante la aplicación de las estimaciones de los parámetros puesto que dicho instante se puede formular como
una determinada función paramétrica. No obstante, una aportación interesante adicional de esta tesis es el abordar el estudio del tiempo del pico mediante su formulación como
un problema de tiempo de primer paso en procesos de difusión. A partir de la relación del proceso Hubbert con el logístico se establece el nexo necesario para la obtención de
la densidad de tiempo de primer paso que modeliza el tiempo del pico.
En el apartado de aplicaciones del modelo introducido, el capítulo 6 utiliza los conocimientos teóricos obtenidos en los capítulos anteriores para las investigaciones
estadísticas en problemas simulados y reales desde el punto de vista de la producción de petróleo. En primer lugar se abordan diferentes estudios de simulación conducentes a
validar los métodos de estimación de los parámetros considerados así como la determinación del pico y del tiempo del pico desde las perspectivas introducidas. Posteriormente se
analiza la evolución temporal de procesos de producción reales basados en datos procedentes de Noruega y Kazajistán. Estas se pueden considerar las primeras aplicaciones reales
que usan procesos de difusión para la modelización del problema de la produccion de petróleo.
Accurately charting the progress of oil production is a problem of great current
interest. Oil production is widely known to be cyclical: in any given system, after
it reaches its peak, a decline will begin. With this in mind, Marion King Hubbert
developed his peak theory in 1956 based on the bell-shaped curve that bears
his name. In the present work introduces a new diffusion process for the purpose of modeling a Hubbert-type
behavior pattern. The main features of the process will be analyzed and the maximum likelihood estimation
of the parameters will be carried out through discrete sampling. To this end, a complex system of
equations must be solved through numerical procedures, requiring the search for an appropriate initial
solution. To this end, we propose three search procedures. We also suggest the use of
metaheuristic optimization algorithms such as simulated annealing and variable
neighborhood search. Some strategies are suggested for bounding the space
of solutions, and a description is provided for the application of the algorithms
selected. In the case of the variable neighborhood search algorithm, a hybrid
method is proposed in which it is combined with simulated annealing. The estimation of peak
time (and consequently peak value) is approached from two perspectives: one,
by obtaining the maximum likelihood point estimation of the two values (both of them can be expressed
as parametric functions); the other, by formulating the peak-time as a first-passage-time problem.
Finally, in order to validate the methodology developed, we carry out some studies based on simulated
data, and then we consider some real-world applications to crude oil production data for Norway and
Kazakhstan.
1. Introducción general 5
1.1. La teoría del pico de Hubbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Breve síntesis de modelos para estudiar la producción de petróleo . . . . . 8
1.3. Sobre modelos basados en procesos de difusión . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Objetivos y estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Trabajos derivados de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. La curva Hubbert 23
2.1. Origen de la curva Hubbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. La curva Hubbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Ecuación de crecimiento de Hubbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3. Proceso de difusión Hubbert 35
3.1. Proceso de difusión de Hubbert a partir de las ecuaciones diferenciales
estocásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Proceso de difusión de Hubbert a partir de las ecuaciones diferenciales de
Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3. Características del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4. Inferencia en el proceso de difusión Hubbert 53
4.1. Planteamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2. Función de verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3. Obtención de las estimaciones de los parámetros a partir de las ecuaciones
de verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.1. Búsqueda de solución inicial para el sistema de ecuaciones de verosimilitud
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4. Aplicación de Simulated Annealing y Variable Neighborhood Search para
la estimación de los parámetros del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.1. Acotación del espacio paramétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4.2. Aplicación de Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.3. Aplicación de Variable Neighborhood Search . . . . . . . . . . . . . 69
4.5. Traslación en el tiempo para el proceso Hubbert . . . . . . . . . . . . . . . 70
5. Tiempos de primer paso en el proceso de difusión Hubbert 73
5.1. Cuestiones generales sobre tiempos de primer paso en procesos de difusión 73
5.2. Tiempos de primer paso en el proceso de difusión Hubbert . . . . . . . . . 77
5.3. El tiempo del pico como tiempo de primer paso . . . . . . . . . . . . . . . 81
6. Ajuste y predicción. Aplicaciones 83
6.1. Ajuste y predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2. Estudios de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.1. Estimación de los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.2. Predicción del instante del pico y del pico . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3. Aplicaciones a datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3.1. Noruega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3.2. Kazajistán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7. Conclusiones y líneas futuras 115
7.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2. Líneas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A. Apéndice 119
Bibliografía 132
En esta tesis se ha querido mostrar cómo la modelizacion estocástica, a partir de procesos
estocásticos de difusión, y el uso de procedimientos inferenciales estadísticos pueden
ser unas herramientas importantes para la comprensión del proceso complejo de la producción
de petróleo. La siguiente sección resume los logros obtenidos, en relación a los
objetivos inicialmente establecidos y que fueron formulados en el Capítulo 1. Posteriormente
se comentan direcciones para futuros trabajos.
7.1. Conclusiones
La producción de petróleo a menudo requiere un modelo matemático que represente
apropiadamente la dinámica del fenómeno en estudio. Para ello, muchos autores eligen
modelos econométricos/estocásticos que consideran variables exógenas asociadas con factores
tecnológicos y/o económicos, o incluso modelos determinísticos simplistas relacionados
con la curva Hubbert. Los procesos estocásticos de difusión permiten proporcionar
mecanismos que consiguen un balance conveniente entre ambas opciones. El proceso presentado
se relaciona con la curva Hubbert de manera estocástica, pero matemáticamente
más sofisticado.
Los enfoques hasta ahora existentes para tratar este problema se formulan, en parte, a
partir de informaciones costosas o de un acceso extremadamente difícil, y siempre asumen
que los modelos son capaces de ajustar suficientemente los datos disponibles, sin tener en
cuenta el grado de incertidumbres de los mismos. Ambas propiedades no coinciden con
los requisitos del modelo considerado en este trabajo.
Los capítulos 2 y 3 de la presente tesis motivan el estudio de la curva Hubbert a través
de la formulación de un nuevo proceso de difusión válido para la modelizacion de la producción
de petróleo. Planteado el modelo de difusión como la solución de una E.D.E., el
siguiente objetivo es estimar estadísticamente sus parámetros basados en observaciones
del proceso en tiempo discreto. El capítulo 3 profundiza en la metodología clásica derivada
de la estimación máximo verosímil. La aplicación de tales técnicas puede ser problemática,
si no imposible, en algunas situaciones típicas de datos en la producción de petróleo, en
particular, cuando no hay visualizaciones del tiempo de pico y/o in exión. Se proponen
alternativas apropiadas para abordar estos problemas mediante enfoques que consideran
las características del proceso y de los datos observados de producción. Estos procedimientos
se centran en la búsqueda de soluciones iniciales para el sistema de ecuaciones
derivado de la aplicación de la teoría de máxima verosimilitud. No obstante, y motivado
por el hecho de que en ocasiones los métodos clásicos de resolución de sistemas no lineales
pueden no funcionar adecuadamente, se plantea la estimación de los parámetros mediante
la maximización directa de la función de verosimilitud vía algoritmos metaheurísticos
como S.A. y V.N.S. Todos estos métodos y procedimientos han sido testeados mediante
diversos estudios de simulación (capítulo 5).
Uno de los pilares básicos de la teoría del pico de Hubbert, una de las piedras angulares
del estudio de la producción de petróleo, es la determinación del instante en el que la
producción alcanza el pico. Una de las formas de estimarlo es mediante la aplicación de
las estimaciones de los parámetros puesto que dicho instante se puede formular como una
determinada función paramétrica. No obstante, una aportación interesante adicional de
esta tesis es el abordar el estudio del tiempo del pico mediante su formulación como un
problema de tiempo de primer paso en procesos de difusión. A partir de la relación del
proceso Hubbert con el logístico se establece el nexo necesario para la obtención de la
densidad de tiempo de primer paso que modeliza el tiempo del pico.
Entrando ya en el apartado de aplicaciones del modelo introducido, el capítulo 6 utiliza
los conocimientos teóricos obtenidos en los capítulos anteriores para las investigaciones
estadísticas en problemas simulados y reales desde el punto de vista de la producción de
petróleo. En primer lugar se abordan diferentes estudios de simulación conducentes a validar
los métodos de estimación de los parámetros considerados así como la determinación
del pico y del tiempo del pico desde las perspectivas introducidas. Posteriormente se analiza
la evolución temporal de procesos de producción reales basados en datos procedentes
de Noruega y Kazajistán. Estas se pueden considerar las primeras aplicaciones reales que
usan procesos de difusión para la modelización del problema de la producción de petróleo.
7.2. Líneas futuras
La utilización de procesos de difusión, junto con las técnicas de inferencia estadística,
en la modelización de la producción de petróleo es nueva. Por lo tanto, la investigación está
en sus primeras etapas y son múltiples las extensiones y/o mejoras que pueden realizarse.
Tales avances ayudarán a mejorar la comprensión del proceso de producción en diversos
aspectos. Esta tesis proporciona un primer paso en esa dirección.
Un ejemplo de estas extensiones se refiere al hecho de que el proceso de difusión Hubbert
presentado puede aplicarse más fácilmente y de manera más eficiente para la modelizacion de
situaciones en las que la producción de petróleo presente un único ciclo, tal como
fue originariamente presentado por Hubbert. Las perspectivas futuras de este trabajo se
refieren principalmente a la utilización de los métodos desarrollados para ser aplicados
a situaciones más complejas como pueden ser curvas asimétricas o ciclos de producción
múltiples que presenten varios picos. Asimismo, puede ser de gran interés la incorporación
al modelo de información adicional externa que puede modificar el comportamiento de la
producción, tanto políticos como sociales como, evidentemente, económicos. Dicha cuestión
conllevaría la introduccion de factores exógenos al proceso que permitan una mejor
modelización del fenómeno observado, al mismo tiempo que posibiliten poder actuar de
forma externa al modelo y, con ello, un control sobre la dinámica de evolución del mismo.
Esta tesis proporciona pautas para la configuracion del modelo de difusión Hubbert
y proporciona información adecuada para su inferencia estadística. Los enfoques de estimación
considerados se han formulado en forma algorítmica. Todos los algoritmos han
sido implementados en R. Otra perspectiva futura es la implementación de todos estos
procedimientos.
En general, la aplicación combinada de modelos de difusión e inferencia estadística
promete proporcionar una nueva visión en el estudio de la producción energética en el
futuro. Esta tesis ha demostrado el potencial de este enfoque.