Complex Steps Finite Differences with applications to seismic problems
Resumen Abstract Índice Conclusiones
Abreu Solorzano, Rafael
2015-A
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Este trabajo introduce una nueva técnica numérica para aproximar ecuaciones diferenciales parciales, el cual es desarrollado y probado con el propósito de calcular la propagación de ondas en medios heterogéneos. Como primer paso se generaliza el Método del Paso Complejo (MPC) para calcular primeras y segundas derivadas desarrollado por \citet{Squire1998} y se introducen nuevas formas de calcular aproximaciones de diferencias finitas, haciendo uso de variable compleja y/o pasos complejos para funciones analíticas y/o ecuaciones diferenciales.
Las aproximaciones más simples y básicas de diferencias finitas para la primera y segunda derivada son llamadas \textit{aproximación hacia adelante} y \textit{aproximación centrada}, las cuales viene dadas por las siguientes expresiones respectivamente
donde $\Delta x$ es un numero pequeño llamado \textit{el paso diferencial} $(\Delta x \rightarrow 0)$ y el símbolo $\error$ se refiere al error de aproximación.
El MPC usa un numero imaginario puro $(\imag^2 = -1)$ para calcular primeras y segundas derivadas de una función analítica haciendo uso de las siguientes expresiones respectivamente
donde los términos $\ImagPart$ y $\RealPart$ son operadores que toman la parte imaginaria y real de una función respectivamente.
Las aproximaciones de pasos complejos (PC) poseen un gran número de ventajas en comparación con aproximaciones de Diferencias Finitas (DF) convencionales: inestabilidades numéricas relacionadas con errores de cancelación de la resta pueden ser evitados (note el termine de resta en el numerador de la Ec. \ref{eq.spa_abs_Forward_Approx} está ausente en la Ec. \ref{eq.spa_abs_CSFirstApprox}), mayor precisión en la aproximación (note que el error es de segundo orden en la Ec. \ref{eq.spa_abs_CSFirstApprox} y de primer orden en la Ec. .\ref{eq.spa_abs_Forward_Approx} teniendo ambos una sola perturbación $\Delta x$) y por otro lado, las derivadas de segundo orden pueden ser calculadas a un solo paso (Ec. \ref{eq.spa_abs_CSSecondApprox}).
Derivadas de segundo orden no pueden ser calculadas con el MPC usando la parte imaginaria de la función ($\ImagPart$) puesto que la unidad imaginaria desaparece después de la doble diferenciación. Es mostrado en este trabajo que cuando se introducen pasos complejos desde un sentido estricto, es decir, tomando en cuenta las direcciones reales e imaginarias en la aproximación de PC \ref{eq.spa_abs_CSFirstApprox}, podemos escribir lo siguiente
donde $h,v \in \mathbb{R}$ y $h,v \rightarrow 0$, el MPC puede ser generalizado.
Aunque a primera vista, ésta aproximación de PC de primer orden (Ec. \ref{eq.spa_abs_FirstOrderImag1}) es menos precisa que la original (Ec. \ref{eq.spa_abs_CSFirstApprox}), este tipo de paso diferencial permite calcular derivadas de segundo orden, lo cual no era posible con el MPC original.
Varias aproximaciones pueden ser encontradas, por ejemplo, la aproximación centrada para la primera y segunda derivada viene dadas respectivamente por las siguientes expresiones
donde el error de aproximación es de $4^{to}$ orden si $v = \sqrt{3}h$ y $h=v$ es respectivamente elegido.
Para cada expresión diferente encontrada, una apropiada combinación de términos y apropiada elección del tamaño del paso diferencial en las dirección real e imaginaria $(h,v)$ debe ser hecha, llevando en varios casos a obtener precisión de $4^{to}$ orden, logrado de una forma simple y compacta para derivadas de primer orden y de orden superior.
Varios tipos de aproximaciones para calcular derivadas de primer, segundo, tercero y quinto orden son encontradas en este trabajo, donde la simplicidad de las ecuaciones en relación con aproximaciones de DF comunes se mantiene prácticamente igual, con todas las ventajas que conllevan los nuevos enfoques, tales como la no cancelación de términos en muchos casos.
Todas las nuevas aproximaciones fueron validadas teóricamente y verificadas numéricamente haciendo uso de en código numérico escrito en lenguaje Fortran90, usando el compilador gfortran con un formato de doble precisión para todas las variables, y a su vez usando la misma función analítica usada por \citet{Squire1998}, y subsecuentemente por muchos otros autores, mostrando la superioridad de las nuevas aproximaciones sobre el MPC y el Método de Diferencias Finitas (MDF).
Luego de desarrollada y validada la nueva técnica numérica, nos enfocamos en la aplicación en el contexto geofísico y sismológico.
Debido al gran crecimiento de tecnologías computacionales, la simulación numérica de propagación de ondas ha estado en el centro de atención de sismólogos el las últimas cinco décadas. Por muchas razones, la teoría de propagación de ondas sísmicas en medios acústicos/elásticos heterogéneos es de gran importancia en el campo de la sismología. El desarrollo de tecnologías computacionales facilita la aplicación de más precisas, eficientes y complejas metodologías numéricas, ayudando al mejor entendimiento del planeta Tierra y sus procesos.
A pesar del gran incremento de poder de cómputo en los años recientes, las técnicas numéricas aún requieren una cantidad inmensa de almacenaje de datos para la simulación la propagación de ondas en medios realísticos y a gran escala. Por esta razón, la herramienta numérica debería ser simplificada tanto como sea posible, tratando de mantener la precisión y exactitud de las soluciones.
Este trabajo tiene como principal objetivo el desarrollo de una nueva, simple, eficiente y muy precisa herramienta numérica para la solución de ecuaciones diferenciales en general y la ecuación de onda en particular.
El problema de propagación de ondas unidimensional (1D) está gobernado por dos ecuaciones básicas: la ecuación de onda unidireccional y bidireccional dadas por las siguientes expresiones matemáticas respectivamente
donde $u=u(x,t)$ es el campo de desplazamiento y $c=c(x)$ es la velocidad del medio.
En el contexto de problemas sismológicos, las dos ecuaciones anteriores son usadas con diferentes propósitos. Mientras la ecuación de onda de primer orden (Ec. \ref{eq.spa_abs_First_Order_Wave_Equation}) ha sido ampliamente usada en el diseño de condiciones de borde no absorbentes (ej. \citet{Clayton01051980}) y migración geofísica (ej. \citet{GJI:GJI217}, \citet{Tappert1977}). La ecuación de onda de segundo orden (Ec. \ref{eq.spa_abs_Second_Order_Wave_Equation}) ha sido usada para propiamente resolver el problema de propagación de onda. Esto es debido a la naturaleza intrínseca de los operadores de DF para las derivadas de primero y segundo orden.
Las aproximaciones más básicas de FD para la primera y segunda derivada son dadas por la Ec. \ref{eq.spa_abs_Forward_Approx} y Ec. \ref{eq.spa_abs_Second_Centered_Approx} respectivamente. Las aproximaciones mas simples de DF para las ecuaciones de onda de primero y segundo orden usando las Ecs. \ref{eq.spa_abs_Forward_Approx} – \ref{eq.spa_abs_Second_Centered_Approx} son respectivamente dadas por las siguientes expresiones
donde $\mathrm{S}=c\frac{\Delta t}{\Delta x}$ es llamado el \textit{número de Courant} y/o \textit{factor de estabilidad}. Comúnmente el número de Courant $\mathrm{S}$ es también representado por el símbolo $\lambda$.
La principal diferencia entre las discretizaciones \ref{eq.spa_abs_Upwind_Discretization} y \ref{eq.spa_abs_Second_Order_Leapfrog} es que la primera propaga la ecuación en una sola dirección (izquierda) mientras que la segunda en dos direcciones (izquierda y derecha).
De igual manera que en el caso de DF, el uso de números complejos es muy inusual en análisis numérico. Este trabajo extiende el MDF y muestra como aplicar los esquemas desarrollados para calcular primera y segunda derivadas para resolver el problema de propagación de ondas.
Basados en el trabajo de \citet{Abreu2012}, se introdujo y dio nombre al Método del Paso Complejo con Diferencias Finitas (MPCDF) como generalización del bien ya conocido MDF.
El MPCDF es simplemente la aplicación de aproximaciones basadas en pasos complejos encontradas en \citet{Abreu2012} para derivadas de primero y segundo orden de la ecuación de ondas. Por ejemplo, podemos escribir aproximaciones de pasos complejos con diferencias finitas (PCDF) para la ecuación de onda de primer orden usando las aproximaciones \ref{eq.spa_abs_FirstOrderImag1} and \ref{eq.spa_abs_FirstOrderImag7} como sigue a continuación
También podemos construir una discretización para la ecuación de onda de segundo orden (Ec. \ref{eq.spa_abs_Second_Order_Wave_Equation}) usando la aproximación \ref{eq.spa_abs_SecondOrderImag1} como sigue a continuación
Se investigan propiedades de propagación de la onda tales como estabilidad y dispersión de las aproximaciones de PCDF introducidas para las soluciones de las ecuaciones de onda unidireccional y bidireccional (ej. Ecs. \ref{eq.spa_abs_CSdiscretization10}-\ref{eq.spa_abs_CSSecondOrderDiscretization}) y se comparan con esquemas de DF clásicos.
No existe un método numérico perfectamente preciso cuando nos encontramos en presencia de heterogeneidad del medio (diferentes propiedades del medio en cada dirección) ya que todos sufren de diferentes factores los cuales lo permiten que reproduzcan la solución real (exacta) del problema. Uno de los análisis más comunes que ayudan a la comprensión de la naturaleza de la discretización numérica, el cual nos permitirá decidir si el método puede o no ser usado bajo ciertas condiciones, es el análisis de dispersión.
La base del análisis de dispersión en una onda plana de la forma siguientedonde $\omega$ es la frecuencia de la onda, $k$ es el número de onda y $\mathrm{A}$ es la amplitud.
Usualmente $k$ y $\omega$ son variables dependientes. La relación entre $\omega$ y $k$ es comúnmente llamada la relación de dispersión.
En este trabajo se calcular propiedades de estabilidad y dispersión para los más comunes esquemas de DF de la ecuación de onda de segundo orden en una forma estandarizada y unificada. Se compararon los operadores de PCDF introducidos para la ecuación de onda unidireccional con los esquemas de DF.
El MPCDF puede ser entendido como una técnica que complementa el MDF convencional. Puesto que el método numérico introducido está basado en una generalización de DF, su implementación es simple. Se compararon las ventajas del MPCDF sobre el MDF en relación a la imposición de diferentes tipos de condiciones iniciales y se muestra su mayor precisión bajo el mismo costo computacional y dispersión numérica.
Ventajas del MPCDF introducido es la separación entre velocidades y gradientes como condiciones iniciales del problema de propagación de ondas. El método introducido ofrece una nueva forma de intercambiar dispersión por disipación (y al revés) en ecuaciones diferenciales. A pesar de que el método propuesto no presenta ningún aporte significativo en presencia de medios heterogéneos sobre los populares esquemas de DF, estos también pueden ser usados para la resolución del problema de la ecuación de onda.
Finalmente hemos encontrado una relación directa en el modelado de la ecuación de onda de segundo orden (Ec. \ref{eq.spa_abs_Second_Order_Wave_Equation}) haciendo uso de el MDF y el ecuación de onda de primer orden (Ec. \ref{eq.spa_abs_First_Order_Wave_Equation}) haciendo uso del MPCDF en medios 1D, 2D y 3D.