Implementación de algoritmos adaptivos generalizados para la deconvolución de trazas sísmicas no estacionarias

Los coeficientes pueden ser actualizados punto a punto en base al criterio de filtro óptimo de Wiener, sólo que con estimadores de la matriz de autocorrelación y del vector de croscorrelación que van cambiando en base a un criterio de peso exponencial de la información de la traza de entrada.

Se puede ver que el algoritmo así obtenido contiene al clásico LMS y al GLMS como casos particulares, bajo ciertas hipótesis sobre la traza de entrada.

El estimador variable de la matriz de autocorrelación se lo ha utilizado también dentro del algoritmo GLMS, obteniendo resultados satisfactorios.

Los algoritmos para la deconvolución así deducidos, han sido ilustrados procesando diversos registros con sismogramas sintéticos construidos en base a un modelo que ofrece características no estacionarias, con diferentes niveles de ruido. Seleccionando apropiadamente ciertos parámetros, la deconvolución adaptiva aquí estudiada remueve satisfactoriamente las reflexiones múltiples con períodos variables, dejando las reflexiones primarias relativamente no distorsionadas.

Introducción pag. 3

Deconvolución adaptiva pag. 5

Método del gradiente pag. 6

El algoritmo LMS pag. 8

El algoritmo GLMS pág. 10

Generalización de algoritmos adaptivos pág.12

Implementaciones
   Modelo pág. 16
   Filtrando con el GLMS pág. 18
   Filtrando con el CLMS pag. 21

Discusión Conclusiones pág. 32

Futuras Implementaciones pag. 33

Apéndice pag. 35

Bibliografía pág. 38

Agradecimientos pág. 40

En lo que respecta a las generalizaciones, son satisfactorios los resultados obtenidos ya sea por el filtrado con el GLMS con estimador de la inversa de la matriz de autocorrelación variable, como también con la generalización (CLMS) presentada por Mantey y Griffiths (1969).

Por otra parte, pareciera que no es de vital importancia poseer una relación señalruido óptima, para que los algoritmos funcionen adecuadamente, lo que se manifiesta en los ejemplos realizados con trazas sintéticas con hasta un 20% de ruido blanco. Más aún, la adición de ruido blanco pareció robustecer los resultados.

La incorporación de la matriz R_xx^-1 en los algoritmos ofrece variadas mejoras con respecto a los clásicos algoritmos adaptivos (LMS), a cambio de un incremento en la complejidad, que a veces puede traer aparejadas dificultades en la implementación.

Si consideramos el GLMS, la posibilidad de elección de la variable a, permite controlar la velocidad de convergencia del’ método, y por lo visto la estabilidad del algoritmo. Valdría aquí mencionar la situación de compromiso existente en su versión tradicional, el LMS, donde se debe escoger entre velocidades de convergencia altas e incorporación de ruido que podría provocar inestabilidades insalvables, a pesar de respetarse las condiciones dadas en el presente trabajo (16)(recordar que las desigualdades fueron deducidas bajo hipótesis muy fuertes como la estricta estacionareidad). Con respecto a ello, Sethares et al. (1986) muestran como ciertas excitaciones de entrada en el algoritmo LMS, pueden producir divergencia en los coeficientes estimados, a pesar que las señales de entrada y de salida, el error de predicción y el ruido incorporado se mantengan acotados.

Una mejora fundamental con respecto al LMS, es la indepencia que adquiere cada coeficiente en su camino hacia el valor óptimo. Si recordamos la ecuación (14), vemos que la velocidad depende del autovalor asociado a dicho coeficiente, cuando los autovalores de la matriz Rxx son muy dispares (?_max / ?_min > 10), el ruido por “misadjustment” será determinado por los coeficientes más rápidos, mientras que el tiempo de convergencia lo estará por los más lentos (Widrow et al., 1976); dándose así situaciones tales como que unos coeficientes hayan ya alcanzado su valor estable pero la variación importante de los otros los haga alejarse nuevamente del valor óptimo. Con el GLMS, no hay que preocuparse por dicha diferencia, ya que la matriz incorporada provoca una ecualización entre las velocidades de convergencia de los coeficientes (ver ecuación 23).

En lo que respecta a la generalización CLMS presentada por el algoritmo de Mantey y Griffiths (1969), es necesario notar la ausencia de variables a ser determinadas a priori bajo algún supuesto como en los algoritmos anteriores. En éste en
cambio, la variable ¡Error! Marcador no definido. , viene dada por la misma información de la
traza de entrada, y es plausible de ser modificada punto a punto (fig. 11). Es necesario destacar la marcada variabilidad de esta magnitud en los ejemplos estudiados, lo que verifica cierto carácter vulnerable del algoritmo.

Los únicos parámetros que deben darse al algoritmo son los clásicos de toda deconvolución predictiva (distancia de predicción y longitud del operador). De todas formas en el presente trabajo se fijó un parámetro de control (umbral), para procurar la estabilidad del algoritmo, en determinadas zonas con una manifiesta falta de estacionareidad. Aunque es preciso notar que el algoritmo puede ser aplicado, en ciertos casos, sin la necesidad de dicho umbral.

El enfoque diferente del que se habla en la aplicación de este algoritmo permite ver que en cada punto a deconvolver, se aplica la idea del filtro óptimo de Wiener, es decir que a cada paso el, filtro obtenido es el que minimiza los errores al cuadrado entre el valor deseado y el calculado, sólo que la forma de utilizar la información estadística de la señal es diferente a la tradicional.

Igualmente una idea de minimización de una función error particular tiene como resultado un sistema adaptivo (RLS) (Marple, 1987; Cioffi y Kailath, 1984) similar al que aquí se ha deducido. La idea se basa en minimizar en función de los coeficientes del operador la función suma de los errores al cuadrado, pero ahora pesada exponencialmente para otorgar mayor preponderancia a los últimos errores calculados a medida que avanza el algoritmo.

Por último, se puede mencionar que problemas de estabilidad debidos principalmente a la precisión finita en los cálculos del estiumador de la matriz inversa, pueden aparecer cuando la matriz Rxx sea próxima a una singular, lo que sucede para señales de banda angosta. El ruido así generado podría incluirse en el algoritmo y causar resultados desastrosos (Cioffi y Kailath, 1984). Como solución no es posible el preblanqueo de la matriz inicial (lo que sí podría ser utilizado en algoritmos con la matriz fija) ya que al cabo de un tiempo no muy grande debido al peso exponencial de las matrices, el algoritmo “olvida” su inicialización (ver ec. 28). La que proponemos en este trabajo es el sencillo umbral para impedir cambios bruscos en el estimador de la inversa de la matriz de autocorrelación.

Futuras implementaciones

El trabajo presentado ha intentado ser un estudio crítico en lo que respecta a las variantes de deconvolución adaptiva. Los adelantos alcanzados con el algoritmo GLMS con matriz variable en registros sintéticos, han sido satisfactorios; lo que indicaría una buena perspectiva de aplicación en el procesamiento de registros marinos en aguas poco profundas, con la finalidad de atenuar todo tipo de ruido coherente, ya sea el discutido tren de reverberación con período variable, como así también un ruido muy común en dichos registros (Griffiths et al., 1977) que lo podemos denominar múltiples peg-leg de refracción (arribos de refracción que han realizado antes reflexiones con el fondo marino).

Si pretendemos eliminar estas refracciones con el tradicional ‘mute’, implicaría realizarlo para tiempos mucho más grandes que los tradicionales, teniendo como consecuencia una disminución del ‘fold’ para los tiempos menores, y por ende reduciendo la habilidad del proceso de stack para atenuar múltiples, como también eliminando información importante que puede encontrarse mezclada en dicho patrón de múltiples. Es por esta razón que resulta importante aplicar el proceso de filtrado con la totalidad del registro antes del proceso de stack.

Debemos agregar que si bien el algoritmo CLMS ha dado resultados satisfactorios, todavía restan tratar variados tópicos. Como ejemplo podemos citar la necesidad de un exhaustivo análisis de las hipótesis necesarias para la aplicación de algoritmos adaptivos; como así también una forma cuantitativa de controlar las inestabilidades que se ‘presentan durante el ; proceso, sobre todo al modificarse bruscamente las características estadísticas de las trazas.

Por otra parte, la posibilidad de sintetizar un esquema adaptivo en otros ámbitos del análisis de señal, como la estimación espectral, debe ser una línea de investigación a ser tenida en cuenta. Es conocida la imperiosa necesidad de los analistas geofísicos dedicados al procesamiento de señal sísmica, de ensanchar (aunque más no sea unos cuantos Hz) el espectro complejo, para mejorar la resolución y facilitar la interpretación geológica de las secciones.