Modelado e inversión de la señal de radar de terreno para las tres propiedades electromagnéticas de suelos y rocas

      En la solución del problema directo o de modelado, se utilizó el método de matrices de propagación para obtener el campo eléctrico superficial asociado con un modelo de capas horizontales cuyas tres propiedades electromagnéticas varían de capa a capa. El problema se plantea en el dominio de las frecuencias suponiendo como fuente una onda plana y se utiliza la transformada inversa de Fourier para acomodar los pulsos propios del georradar. Los resultados indican que aunque la permeabilidad magnética no es importante, las reflexiones debidas a variaciones de conductividad eléctrica pueden ser del mismo orden de aquellas asociadas con fronteras de permitividad eléctrica. En particular, se muestra que un modelo realista del terreno compuesto de capas delgadas conductoras puede producir radargramas similares a aquellos producidos por un contraste de permitividad sin pérdidas.

      Una vez resuelto el problema directo, se desarrolla un método para invertir radargramas en términos de perfiles unidimensionales. El rasgo distintivo del algoritmo es un tipo especial de linealización de la ecuación de onda amortiguada del campo eléctrico que representa una formulación compacta del problema para las tres propiedades. El tipo especial de linealización está basado en una ecuación integral que involucra las derivadas del campo eléctrico con respecto a la permeabilidad magnética μ, la conductividad eléctrica σ y la permitividad eléctrica ε. La ecuación integral resulta de analizar las implicaciones de las propiedades de escalamiento del campo electromagnético. El algoritmo para la inversión es iterativo y requiere de la solución de varios problemas directos. Las expresiones analíticas para las derivadas con respecto a las propiedades físicas fueron obtenidas usando el método de la función autoadjunta de Green. En cada iteración se busca una solución al minimizar la norma cuadrática de los residuales mediante la técnica de programación cuadrática. Para acelerar la convergencia en el proceso iterativo se usa el método de Levenberg-Mardquardt. El terreno se modela usando un gran número de capas delgadas horizontales para aproximar variaciones generales de las propiedades fisicas. Se muestra que los radargramas sintéticos debidos a contrastes de permitividad eléctrica pueden ser ajustados usando variaciones de conductividad eléctrica o permeabilidad magnética.

      La conclusión general del trabajo permite afirmar que es imposible recuperar separadamente perfiles verticales de las tres propiedades electromagnéticas de suelos y rocas usando datos de radar de terreno. Para recuperar unívocamente un perfil vertical de una propiedad dada, es necesario suponer que las variaciones de las otras dos propiedades son conocidas en el mismo intervalo de profundidad.

      Palabras Clave: Problema Directo, Derivadas de Fréchet, Problema Inverso, Función de Green Autoadjunta, Georradar, Estimación de Parámetros, Programación Cuadrática, Método de Levenberg-Mardquardt.

      The objective of this thesis is to assess the importance of electrical conductivity (σ) and magnetic permeability (μ) variations in the production of ground penetrating radar (GPR) reflections commonly interpreted only in terms of permittivity (ε) variations. To this end, forward and inverse algorithms were developed to perform numerical experiments assuming variations of the three properties.

      In the solution of the forward or modeling problem the matrix propagator approach is used to obtain the surface electric field associated with a horizontally layered model whose three electromagnetic properties vary from layer to layer. The problem is posed in the frequency domain assuming a plane wave as source using inverse Fourier transformation to accomodate particular GPR pulses. The results indicate that while magnetic permeability is unimportant, reflections from electrical conductivity variations can be of the same order as those associated with electrical permittivity boundaries. In particular, it is shown that a realistic ground model composed of thin conductive layers can produce radargrams similar to those caused by a lossless permittivity contrast.
      After solving the forward problem, a method is developed for inverting ground penetrating radargrams in terms of one-dimensional profiles. The distinctive feature of the algorithm is a special type of linearization of the damped Electric Field wave equation that represents a compact formulation of the problem for the three properties. The special type of linearization is based on an integral equation that involves derivatives of the electric field with respect to the magnetic permeability μ, electrical conductivity σ and electric permittivity ε. The integral equation results of analyzing the implication of the scaling properties of the electromagnetic field. The algorithm for the inversion is iterative and requieres of the solution of several forward problems. Analytical expressions for the derivatives with respect to the physical properties were obtained using the self-adjoint Green’s function method. At each iteration a solution is sought by minimizing the quadratic norm of the residuals in accordance with quadratic programming optimization. In the iterative process to speed up convergence we use the Levenberg-Mardquardt method. The ground is modeled using a large number of thin horizontal layers to approximate general variations of the physical properties. We show that standard synthetic radargrams due to dielectric permittivity contrasts can be matched using electrical conductivity or magnetic permeability variations.

      
The general conclusion of the work is that it is impossible to recover separately vertical profiles of the three electromagnetic properties of soils and rocks using ground penetrating radar data. In order to univocally recover a vertical profile of a given property,
it is imperative to assume that the variations of the other two properties are known over the same range depth.

      Key words: Forward problem, Fréchet derivatives, Inverse Problem, Self-Adjoint Green Function, GPR, Parameter Estimation, Quadratic Programming, Levenberg-Mardquardt method.

II. PROBLEMA DIRECTO 14
II.1 Teoría 14
II.2 Problema directo del Georradar 17
II.3 Transmisión y Reflexión de ondas a través de fronteras de permitividad y capas delgadas conductoras 21
II.4 Radargramas Sintéticos 25
II.4.1 Reflexiones debidas a variaciones de conductividad eléctrica. 25
II.4.2 Reflexiones debidas a variaciones de permeabilidad magnética. 26
II.5 Comparación de radargramas 26
II.6 Balance de energía 27

III PROBLEMA INVERSO 36
III.1 Generalidades 36
III.2 Ecuaciones Integrales no lineales. 39
III.3 El problema inverso de georradar 41
III.3.1 Naturaleza de los datos de georradar 41
III.3.2 Incógnitas o parámetros del modelo 42
III.3.3 Parametrización 42
III.3.4 Solución del problema Inverso 45
III.3.5 Característica de la solución 45
III.3.6 Planteamiento del problema 46

IV DERIVADAS DE FRECHET 47
IV.1 La Ecuación de Onda Amortiguada 47
IV.2 Derivadas Analíticas de Fréchet 52
IV.2.1 La función autoadjunta de Green 54
IV.2.2 Derivada de Fréchet G_E,μ, G_E,σ, G_E,ε 56
IV. 3 Derivadas del Campo Eléctrico para un medio estratificado 63

V ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS 73
V.1 Método de estimación 73
V.2 Programación cuadrática y estimación de parámetros 75
V.3 Convergencia del proceso de estimación y error RMS 76
V.4 Resultados 79
V.4.1 Estimación de permitividad 79
V.4.2 Estimación de conductividad 80
V.4.3 Estimación de permeabilidad 80
V.4.4 Estimación cruzada 83

VI CONCLUSIONES 95

LITERATURA CITADA 97

APÉNDICE A CAMPO ELÉCTRICO EN UN MEDIO ESTRATIFICADO 104

APÉNDICE B DIAGRAMA DE FLUJO DEL ALGORITMO DE INVERSION PARA GEORRADAR 109

APÉNDICE C REGULARIZACIÓN 119

APÉNDICE D MÉTODOS DE CALCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO EN LA SUPERFICIE DEL TERRENO 120

APÉNDICE E AMPLITUD DE LA COMPONENTE CILÍNDRICA E_Φ DEL CAMPO ELÉCTRICO DE UN DIPOLO ELÉCTRICO HORIZONTAL 122

APÉNDICE F PRESENTACIONES EN CONGRESOS NACIONALES E INTERNACIONALES 123

APÉNDICE G ARTICULAOS SOMETIDOS PARA SU PUBLICACIÓN A LA REVISTA JOURNAL OF APPLIED GEOPHYSICS 154

Synthetic radargrams from electrical conductivity and magnetic permeability variations. Publicado. 155

Ground penetrating radar inversion in 1-D: An approach for the estimation of electrical conductivity, dielectric permittivity and magnetic permeability. Recomendado para su aceptación. 165

      Por otro lado en relación al problema inverso los resultados presentados pueden parecer a primera vista pesimistas en el sentido que señalan la imposibilidad de recuperar unívocamente un perfil vertical de las tres propiedades electromagnética de cada radargrama. Antes de llegar a esta conclusión se debe de tomar en cuenta que la solución a este problema es quizás la más simple, ya que hemos considerado una onda plana con campos horizontales y como vemos la imposibilidad existe como se muestra en los resultados. La posibilidad de diferenciacion debe venir de una complicación adicional del modelo físico, al incluir por ejemplo propiedades que dependen de la frecuencia o considerando campos eléctricos verticales. Esto puede cambiar la situación de manera radical. Los resultados deben ser vistos como un caso límite ideal, el cual directamente señala la imposibilidad de diferenciación. Considerando lo anterior se puede concluir que cualquier señal o radargrama puede invertirse fijando dos propiedades y dejando variar una tercera tal como lo hemos hecho. Lo anterior permite puntualizar y recordar que predecir la estructura material en el terreno no será única a menos que los otros dos parámetros sean conocidos.

      Los resultados señalados se obtuvieron con herramientas cuya construcción y diseño forman parte del presente trabajo. Primero, se desarrolló el algoritmo para modelar las señales de georradar considerando las tres propiedades electromagnéticas de los suelos y rocas. A su vez, este algoritmo se utilizó como una de las partes para integrar el programa de inversión. Este último requirió además el desarrollo de expresiones analíticas para las derivadas de Fréchet, de las cuales se obtuvieron directamente las derivadas parciales del radargrama con respecto a las propiedades del medio. Para relacionar el radargrama con las propiedades se experimentó con una nueva formulación que liga directamente los datos con las incógnitas y se demostró con una serie de ejemplos la aplicabilidad de la nueva relación.