Interpretación de anomalías de campos potenciales mediante estimación estadística de transformadas y parámetros asociados.

      El capítulo I plantea el problema geofísico a resolver, que da origen a los métodos que se desarrollan. A los efectos de dejar establecidas las nociones que utilizaremos a lo largo de la tesis, se precisan los conceptos de campo potencial, anomalía gravimétrica regional y residual, transformada de Fourier y espectro de potencia, describiendo algunas de sus propiedades más utilizadas. Se reseñan métodos de estimación del espectro, puntualizando en particular el método de máxima entropía, destacando falencias y ventajas. Se describen los métodos que hasta el momento se utilizan para la resolución del problema planteado, y se desarrolla una aplicación del método de Prony, mostrándose su utilidad en un ejemplo con datos observados en una sección de la Cordillera Andina.

      En el capítulo 2 se presenta una estimación de una transformada de Fourier Discreta de alta resolución. Se describe la filosofía de aproximación estadística Bayesiana sobre la cual se basa el procedimiento y se plantea la estimación de una transformada con mayor cantidad de elementos que el número de datos, imponiendo como restricción (información a-priori) que el resultado conduzca a un espectro ralo. El procedimiento permite también tratar con datos areales y ubicados a diferentes alturas topográficas. Se analizan los efectos que provocan las variaciones de los parámetros involucrados en el modelo.

      Con el fin de optimizar la velocidad de resolución del problema planteado, en el capítulo 3 se tratan dos herramientas de diferente índole: por un lado se presenta una transformada alternativa: la transformada de Hartley, que con la ventaja de ser una transformada real, es capaz de describir un proceso físico en forma similar a la transformada de Fourier, y se analiza su uso en la resolución de problemas en los cuales se necesita estimar una transformada discreta desconocida con un proceso diferente al de la transformación rápida. Se caracteriza el espectro de potencia a partir de esta transformada. Se describe una aplicación en el caso de la estimación de la transformada discreta planteada en el capítulo 2, y en una descomposición en valores singulares de datos de campos potenciales. Se prueba que los resultados que se obtienen aplicando la transformada de Hartley discreta son numéricamente idénticos a los obtenidos utilizando la transformada de Fourier discreta, pero los cálculos se simplifican considerablemente. Por otro lado, se presenta un algoritmo que acelera la convergencia del proceso planteado para encontrar la solución del problema inverso establecido, y con un desarrollo que es válido indistintamente para las transformadas de Fourier y de Hartley, se exhibe un método iterativo que evita la resolución directa de sistemas de gran tamaño, para lo cual se presenta un algoritmo de «steepest descent» que acelera la convergencia del proceso.

      En el capítulo 4 se muestra la aplicación de los conceptos presentados en la resolución de los problemas geofísicos originalmente planteados de grillado y separación de anomalías. Se presenta la noción de regularización y se reseñan algunos métodos usuales para llevarla a cabo. Se explica la forma de utilizar el método propuesto para el grillado de datos de campos potenciales y, en un ejemplo con datos de anomalías de Bouguer, se compara el desempeño de este método con otros de frecuente uso. En forma similar, se presenta el problema de la separación de anomalías y se describen los métodos más utilizados para su resolución, destacándose sus principales ventajas y dificultades. A continuación se describe la utilización del método presentado en esta aplicación, y se prueba su desempeño en un problema con datos reales de anomalías gravimétricas.

      Finalmente en el capítulo 5 se propone la utilización del concepto estadístico presentado para modelar problemas de fuentes equivalentes. Se presenta la técnica y su uso en la interpolación y grillado de datos de campo potencial y se aplica la idea de modelo ralo para resolver el problema de la separación de anomalías.

1 Introducción y antecedentes. 5
1.1 Planteo del problema geofísico: campos potenciales, sus anomalías y la necesidad de regularización y separación 7
1.2 Transformada de Fourier y Espectro de potencia 11
1.2.1 Definición y propiedades 11
1.2.2 Algunas observaciones 12
1.2.3 Transformada de Fourier Discreta 13
1.2.4 Espectro de potencia 15
1.3 Métodos estadísticos de estimación del espectro. Método de máxima entropía. 16
1.4 Determinación de las profundidades de las fuentes a partir del espectro de potencia 21
1.4.1 Caso unidimensional 21
1.4.2 Caso bidimensional 29

2 Estimación Bayesiana de la Transformada de Fourier Discreta. 31
2.1 Introducción 33
2.2 Algunas consideraciones sobre la inversión Bayesiana 33
2.3 Estimación de la DFT 11) para datos equiespaciados en un perfil plano 34
2.4 Datos areales no equiespaciados y a diferentes alturas 37
2.5 Variaciones de los parámetros σ_c y σ_n 39

3 Optimización de la resolución: la transformada de Hartley; el algoritmo dé steepest descent. 43
3.1 Introducción 45
3.2 Definiciones, notaciones y propiedades 46
3.2.1 Caso bidimensional 46
3.3 Espectro de potencia 48
3.4 Prolongación vertical de campos potenciales 49
3.5 Estimación de la DFT 50
3.6 Otra aplicación: Descomposición en valores singulares; prolongación e in-versión de datos de campos potenciales 52
3.7 Expresiones de la DHT para el cálculo rápido de las anomalías de campo potencial 53
3.8 Optimización de la convergencia 54
3.8.1 Método iterativo para evitar la resolución directa del sistema 54
3.8.2 Algoritmo de steepest descent 56

4 Resolución simultánea de los problemas de grillado y separación. 59
4.1 Regularización 61
4.2 Grillado de datos de campos potenciales utilizando el método propuesto 62
4.3 Ejemplo: Grillado de una carta de anomalías de Bouguer 64
4.4 El problema de la separación de anomalías 68
4.5 Separación regional residual utilizando el método propuesto 71
4.6 Ejemplo: Separación regional-residual de una carta de anomalías de Bouguer 74

5 Fuentes equivalentes 77
5.1 Introducción 79
5.2 La técnica de fuente equivalente 79
5.3 Interpolación y grillado de datos areales de campo potencial con el método de fuentes equivalentes 81
5.4 Fuentes ralas 84

Conclusiones. 89

Agradecimientos. 90

Bibliografía. 91

      La técnica de espectro ralo presentada en el capítulo 2, aplicada a datos de anomalías de campos potenciales, proporciona una solución simultánea a los problemas de grillado, separación regional-residual y reducción de los datos a un mismo nivel de referencia. El método se basa en la estimación de una transformada de Fourier discreta de alta resolución, incorporando información a-priori para obtener un modelo ralo.

      En el capítulo 3 se desarrollan herramientas para optimizar los procedimientos de resolución del problema. Por un lado, la transformada de Hartley, que en los ejemplos estudiados pone de manifiesto su ventaja para tratar problemas geofísicos que involucran la transformada de Fourier y se resuelven mediante procedimientos diferentes al algoritmo de la transformada rápida. Se muestra que la transformada de Hartley discreta contiene la misma información que la transformada de Fourier discreta, pero ocupa la mitad de la memoria, lo cual constituye una ventaja importante cuando se debe tratar con grandes cantidades de datos. Al mismo tiempo, las operaciones complejas (como productos de matrices e inversiones) se reemplazan por un número análogo de operaciones reales, y esto se refleja en una ganancia de velocidad en la ejecución del programa. Por otro, para evitar la inversión de matrices con grandes cantidades de datos, se presenta el algoritmo de steepest-descent. Sin embargo, los mismos ejemplos muestran que los cálculos realizados resolviendo un sistema lineal en cada iteración, o mediante la minimización de steepest-descent, son algo lentos. Se espera que futuros trabajos permitan mejorar los algoritmos.

      En el capítulo 4 se muestra que aplicando la técnica propuesta, el campo potencial queda definido usando fundamentalmente una combinación de pocas funciones simples, facilitando así el cálculo inverso sobre los puntos de una grilla. La comparación con otros métodos de grillado usualmente empleados confirma la buena calidad de la regularización propuesta.

      Al mismo tiempo, las componentes de alta y baja frecuencia se distinguen fácilmente y pueden ser separadas. Mediante una segunda pasada Cauchy-Cauchy se logra una separación más robusta.

      Se presentan ejemplos que muestran la aplicabilidad de la técnica y realzan los beneficios de incorporar información a-, priori adecuada para resolver los problemas planteados.

      En el capítulo 5 se introduce la filosofía Bayesiana al concepto de fuentes equivalentes, y tanto en un ejemplo teórico como en uno con datos de anomalías medidas sobre un perfil a 33° de latitud Sur, se encuentra que la idea es adecuada para resolver el problema de la separación de anomalías. El esquema abre una linea para la futura aplicación de esta noción a la resolución de problemas de interpretación de anomalías de campos potenciales.